リサーチ・学習のスキル

圏論の極限・余極限の問題で、積や引き戻しなどの種類を見分け、普遍性による証明、集合での具体計算、Lean 4での検証の進め方を整理するスキル。

• 積・等化子・引き戻しを見分けたいとき
• 普遍性を使った証明の組み立て
• 集合での等化子や引き戻しの具体計算

実解析の数列・級数の収束問題で、式の型に応じた判定法を選び、極限や不等式を確認します。収束する級数の和を求める手順まで整理するスキルです。

• 級数の収束判定法を選びたいとき
• 数列の極限や不等式を確認したいとき
• 収束する級数の和を求めたいとき

情報理論の情報源符号化を学び、Huffman符号の作り方や平均符号長の限界、Kraftの不等式、圧縮率とひずみの関係を整理するスキル。

• 出現確率からHuffman符号を作成
• 平均符号長とエントロピーの比較
• Kraftの不等式で符号長を確認

最短経路や最小全域木、ネットワークフローなどのグラフ問題で、条件に合うアルゴリズムの選択を支援し、数式計算や性質の検証手順も示すスキル。

• 最短経路の解法を選びたいとき
• 最小全域木の方針を立てたいとき
• ネットワークフローの式を整理したいとき

圏論の自然変換について、成分ごとの写像や自然性の条件を整理し、自然同型、合成、米田の補題を使った問題への取り組み方を案内するスキルです。

• 自然変換の自然性を確認したいとき
• 自然同型かどうか検討したいとき
• 関手圏での合成を学びたいとき

等式・不等式・変数の上下限を伴う最適化問題で、条件の分類からラグランジュ法やKKT条件の検討、SciPyによる数値計算までの手順を示すスキル。

• 制約を分類して解法を選びたいとき
• 等式制約をラグランジュ法で解く
• 不等式制約のKKT条件の確認

情報理論の通信路容量を求める問題で、相互情報量や通信路モデルを整理し、代表的な公式と反復計算法を使った解法の検討を支援するスキルです。

• 代表的な通信路の容量を求めたいとき
• 相互情報量の計算を整理したいとき
• 容量を最大にする入力分布の検討

Rudinの『Real and Complex Analysis』第3版を参照し、測度・積分・複素解析の問題で使う定理の選択や計算、検証を支援するスキル。

• 極限と積分に使う定理を選びたいとき
• 複素積分や留数の問題を解きたいとき
• 関数空間や線形作用素を学びたいとき

常微分方程式・偏微分方程式の境界値問題で、条件に合う解法の選択を支援します。射撃法、有限差分法、数値ソルバー、固有値問題の扱いを整理するスキルです。

• 二点境界値問題の解法を選びたいとき
• 有限差分法の式を組み立てたいとき
• Sturm-Liouville問題の復習

凸最適化の問題を、凸性の確認から標準形への整理、解法選び、計算結果の検証まで順に進めます。SciPyなどを用い、制約条件と最適性を確認するためのスキルです。

• 目的関数と制約の凸性を調べたいとき
• 最大化問題を標準的な最小化形式に整理
• 線形・二次・半正定値計画の解法選び

数式や数学の考え方を、具体例・図解・身近な類推で理解するためのスキル。問題の言い換えや単純化を通じて、計算に進む前に意味や構造を整理します。

• 数式の意味を理解したいとき
• 幾何学的な解釈を知りたいとき
• 抽象的な問題を具体例で考えたいとき

測度論の積分問題で、関数列の性質や可積分性に応じて使う定理を整理します。単関数の積分から極限と積分の交換、重積分の順序変更まで、解法の検討を支援します。

• 極限と積分を交換する定理を選びたいとき
• 積分順序を変える条件を確認したいとき
• Fatouの補題で下限を調べたいとき

集合の長さや大きさを扱うルベーグ測度の問題で、外測度の構成から可測性の判定、基本性質、正則性まで、証明や計算の方針を順に整理するスキルです。

• 区間による被覆と外測度の復習
• Caratheodory条件による可測性の学習
• ルベーグ測度の基本性質の証明整理

一階常微分方程式を形から分類し、変数分離や積分因子などの解法を選ぶスキル。初期値問題の数値計算、解の代入確認、平衡点の安定性の検討まで手順を示します。

• 一階微分方程式の解法を選びたいとき
• 初期値問題の数値解を求めたいとき
• 解と初期条件の整合性を確認したいとき

整数の余りを扱う合同算術の問題で、逆元や連立合同式、べき乗、平方剰余、原始根を調べるために、使う定理と計算・証明の進め方を整理するスキル。

• 拡張ユークリッド互除法による逆元計算
• 中国剰余定理で連立合同式を解きたいとき
• Euler's Theoremでべき乗を整理

行列の固有値・固有ベクトルを求める手順を整理し、特性多項式の計算から重複度の確認、計算結果の検証までを支援する線形代数の問題解決用スキル。

• 行列の固有値と固有ベクトルを求めたいとき
• 特性多項式を計算したいとき
• 固有値・固有ベクトルの計算結果の検証

関数解析の作用素に関する問題で、有界性・随伴・スペクトル・コンパクト性を調べる手順を整理し、証明や記号計算に使うコマンド例を示すスキル。

• 作用素の有界性を確認したいとき
• 随伴作用素を求めたいとき
• 自己随伴作用素のスペクトルの検討

線形代数の行列問題で、行列の種類の判定から積・逆行列・行列式、連立方程式、行列分解まで、問題に応じた解法の選択と計算を支援するスキルです。

• 行列の種類や性質を調べたいとき
• 行列の積・逆行列・行列式の計算
• 連立一次方程式を解きたいとき

関数解析のヒルベルト空間の問題に対し、直交分解や射影定理などから解法を選び、内積の計算や証明に取り組むための方針とツールの実行例を示すスキル。

• ヒルベルト空間の演習の解法選び
• 直交分解と射影を学びたいとき
• Riesz 表現定理を使いたいとき

線形代数のベクトル空間に関する問題を、部分空間の判定、一次独立性、基底と次元、基底変換に分けて整理し、計算・証明用スクリプトで確認するスキル。

• 部分空間かどうか判定したいとき
• ベクトルの一次独立性を調べたいとき
• 基底と次元を求めたいとき

複素解析の留数計算で、極の位数や特異点の種類に応じて解法を選び、極限・微分・ローラン展開による計算から留数定理を使う積分まで手順を整理するスキル。

• 単純極や高位の極の留数計算
• 極の位数を判定したいとき
• 真性特異点の留数を展開から求めたいとき

命題論理の式や推論を、真理値表・自然演繹・意味論的タブローで調べ、恒真式や矛盾の判定、条件を満たす真偽の割り当ての確認を支援するスキル。

• 真理値表で論理式を分類したいとき
• 論理式が真になる割り当ての有無の確認
• 推論規則を使って論証を検証したいとき

数理論理学の証明論の問題で、直接証明・背理法・帰納法などの方針を選び、カット除去や健全性・完全性の観点から証明の構造と手順を確認するスキルです。

• 数学の証明方針を選びたいとき
• 構造帰納法の基底と段階の整理
• カット除去と証明の正規化の学習

複素解析の積分問題で、式の形に合う積分経路を選び、特異点の確認から留数定理による計算までを案内します。Sympyを使った計算例も参照できます。

• 広義積分の経路を選びたいとき
• 三角関数の積分を単位円で解く
• 分岐切断を囲む経路の検討